emat

1. W1

   1. Relacja preferencji (przechodnia i zupełna)

   2. Relacja jest zupełna iff jest zwrotna i spójna ( x>=y lub y>=x lub x=y dla każdej pary x i y)

   3. Relacja ścisłej preferencji

   4. Relacja indyferencji ( jest relacją równoważności)

   5. Relacja liniowo porządkująca (zwrotna, antysymetryczna, przechodnia i spójna)

   6. Funkcja reprezentująca relację preferencji

   7. Relacja preferencji na produkcie

   8. Topologia

   9. Baza topologii

2. W2

   1. Topologia produktowa

   2. Domknięcie i wnętrze zbioru

   3. Przestrzeń Hausdorffa

   4. Rodzina scentrowana

   5. Przestrzeń indukowana, zbiór domknięty w przestrzeni indukowanej

   6. Tw. Zbiór A w przestrzeni Hausdorffa X jest zwarty iff każda rodzina scentrowana zbiorów domkniętych w A ma niepusty przekrój

   7. W przestrzeni Hausdorffa każdy zbiór zwarty jest domknięty

   8. Ciągła relacja preferencji

   9. Tw. Warunki równoważne dla ciągłości relacji preferencji

   10. Operacje na relacjach: odwracanie i składanie

3. W3

   1. Tw. Jeżeli f:X->R jest ciągła, to relacja zdef. x>=y iff f(x)>=f(y) jest ciągła

   2. Odległość punktu od zbioru

   3. Metryka Hausdorffa (tylko dla zbiorów domkniętych i ograniczonych) d_H(A,B)=max{sup d(b,A); sup d(a,B)}

   4. Relacja półciągła z góry i z dołu

   5. Element optymalny zbioru A względem relacji

4. W4

   1. Niech >= będzie ciągłą rel. Preferencji w prz.top. X. Jeśli niepusty podzbiór A jest zwarty to w A istnieje el. Optymalny. Ponadto elementy optymalne w A tworzą zbiór domknięty

   2. Zbiór wypukły w przestrzeni liniowej

   3. Wypukła i ściśle wypukła relacja preferencji

   4. Relacja jest wypukła iff (dla każdego x є C) Mx = {y є C : y>=x} jest wypukły

   5. Jeżeli x i y są optymalne, to x~y

   6. Jeżeli >= jest wypukła w C, to zbiór el. Optymalnych jest wypukły. Jeśli relacja jest ściśle wypukła, to istnieje maksymalnie jeden element optymalny.

   7. Jeżeli >= jest ciągła i ściśle wypukła w zwartym i wypukłym C, to istnieje dokładnie jeden element optymalny

   8. Relacja częściowego porządku w R^l po współrzędnych; relacja monotoniczna i ściśle monotoniczna

5. W5

   1. Relacja preferencji reprezentowana przez funkcję

   2. Jeżeli f reprezentuje relację preferencji, to g○f, gdzie g:R->R jest rosnąca, też reprezentuje tę relację preferencji

   3. Jeżeli f i g reprezentują tę samą relację, to istnieje rosnąca h, taka że g=h○f

   4. Jeżeli >= jest ciągła oraz f jest suriekcją reprezentującą >=, to f jest ciągła.

   5. Funkcja quasi-wklęsła

   6. Niech >= będzie relacją reprezentowaną przez f w zbiorze wypukłym C. Wówczas >= jest (ściśle) wypukła iff f jest (ściśle) quasi-wklęsła

   7. Jeżeli >= jest relacją preferencji w X, który jest co najwyżej przeliczalny, to >= ma funkcję reprezentującą